借 GPT-6 Astra 补齐圆内摆圆最优性：N=15–18、20 的 57 年空白被证完

技术作者 nor 于 10 月 11 日在个人博客公开《Optimal packings of 15-20 equal circles in a circle》，证明 15、16、17、18 和 20 个等圆在圆内的经典排列确实最优，并刻画出其中四种情形的最优排列。此前已知证明只覆盖到 14 个圆以及 19 个圆，因此这是把「N≤20 时大圆最小半径是多少」全部填满的一步。这条线上 1968 年 Graham 先证到 N≤7，1969 年 Pirl 给出 11–19 的候选排列，但候选是否最优要到 2003 年前后才被严格验证——作者本人的说法是，他从十几年前就关注这道题，而它「过去十几年确实没什么进展」。

证明是计算机辅助的，全程使用精确有理算术。作者自述路线分五步：先把靠外的圆盘推到边界，把圆盘分成边界组与内部组；再用角度间隔排除大量排列——圆盘不重叠就必须保持角度间隔，需要角度总和超过 360° 的排列可以直接排除；接着让计算机枚举圆心距区间与环绕次序，而不是搜索每个圆盘的具体坐标；然后用圆盘之间的接触约束做几何刚性论证，把「所有可行排列都非常接近经典排列」提升为「严格一致」，N=15 另用了奇数环论证；最后证明原排列中至少有一个圆盘接触外圆边界，从而排除半径更小的外圆。

作者在文中写明，这些证明是 GPT-6 Astra 在「引导、检查与大量改写」下找到的，人类那一侧的贡献包括判断问题可行性、引导模型、修补细微问题、反复推敲阐述、手工验证，并用 Astra 与 Opus 5.5 重新检查全部内容。需要注明的是，这是作者自述的计算机辅助证明，尚未见同行评议或投稿记录；证明材料与脚本在作者的结果页，可自行复算。

原文链接：nor 的博客 / 量子位